01 · 基元
先学会读一组二维正弦条纹
正弦光栅是空间频率世界的“单音”。复杂图像就像和弦，可以拆成许多不同频率、方向、振幅和相位的单音。
把标量频率升级成矢量： f = (fₓ,fᵧ)，当前 fₓ = 5.30、fᵧ = 2.82。两分量合成 |f| = √(fₓ²+fᵧ²)，方向 θ = atan2(fᵧ,fₓ)。第一章的相位梯度在这里落地：f = ∇φ/(2π)。
交互实验 02
打开或关闭不同频率，听见图像的“和弦”
叠加不会创造新的数学规则：傅里叶变换具有线性，先相加再变换，等于各分量的频谱分别相加。
02 · 变换
傅里叶变换：把图像变成一张“频率地图”
图像域回答“哪里亮、哪里暗”；频率域回答“有哪些尺度、朝哪些方向变化”。二维傅里叶变换保留全部信息，只是换了一套坐标。
中心
直流与低频
平均亮度、缓慢起伏
远离中心
高空间频率
细纹理、尖锐边缘
谱峰角度
变化的方向
与图像条纹垂直
三个不会混淆的判断
- 01条纹越细，谱峰离中心越远。
- 02条纹转动多少，频率矢量也转动多少。
- 03实值图像的频谱具有共轭对称，所以单一余弦通常出现 ±f 两个峰。
最基本的单一空间频率
孔径越窄，频谱主瓣越宽
空间越宽，频谱越窄
03 · 系统
卷积：每个物点都留下同一种光斑
线性平移不变成像系统用点扩散函数 h 描述。物体上的每个点产生一份平移后的 h，所有光斑叠加，便得到图像。
物体 f(x,y)
像 g(x,y)
04 · 离散化
采样与混叠：像素会把高频伪装成低频
传感器只在离散像素位置记录光强。若像素间距太大，不同连续信号会产生完全相同的样本，重建时便无法辨认真实频率。
交互实验 03
采样点不够时，会看见“假的低频”
当前 Nyquist 上限为 10.0 周期/视场。 真实频率位于上限内，样本能唯一确定它。
二维采样
像素阵列会让原频谱在 fₛₓ、fₛᵧ 的整数倍位置周期复制。相邻副本一旦重叠，就发生二维混叠；矩形带限时，x、y 两个方向都要分别满足 Nyquist 条件。
空间带宽积 SBP
SBP ≈ (LₓBₓ)(LᵧBᵧ)
视场 L 越大、要保留的带宽 B 越高，系统必须承载的独立信息单元越多。它把“看得多大”和“看得多细”放进同一个指标。
05 · 应用
结构光照明：主动搬运看不见的高频
当样品细节频率超过显微镜通带，可以用已知光栅照明与样品相乘，制造较低的差频。这个拍频进入通带后，算法便有机会把原高频信息搬回正确位置。
样品细节
fₒ = 15
照明光栅
fᵢ = 11
低频拍频
|fₒ − fᵢ| = 4
原本过高的样品频率，被照明光栅搬到显微镜能够通过的低频区域。
紫色虚线标出可见的低频包络；实际 SIM 还会改变照明相位与方向，联合重建频谱。
SIM 的完整动作
改变照明的方向与相位，拍摄多幅图像；在频率域分离被搬运的频谱分量；最后拼接并反变换，获得高于常规宽场成像的分辨率。
06 · 自测
你是否已经换成“频率视角”？
先凭直觉作答，再用上面的实验检查。四题全对，说明你已具备进入衍射与傅里叶光学的核心语言。
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第二章的六句话
- 01空间频率描述亮度在空间中变化得多快、朝哪个方向变化。
- 02二维正弦条纹由频率矢量 (fₓ,fᵧ)、振幅和相位确定。
- 03傅里叶谱中心是低频，离中心越远频率越高。
- 04空间域卷积对应频率域相乘：g=f*h ↔ G=FH。
- 05无混叠采样要求 fₛ≥2fₘₐₓ；不足时高频会伪装成低频。
- 06结构光照明利用差频，把通带外的高频搬进可观测区域。
下一章：透过率函数——光学元件怎样逐点改写光场。