4f 系统｜高等光学第八章

8.1 · 从泽尼克相衬发现问题

相位本来不可见；干涉把它翻译成亮暗。

对纯相位物体，U=e^iφ 而 |U|²=1。泽尼克的关键不是“直接看到相位”，而是在频谱面单独改变零级背景光，再让它与衍射光重合干涉。

实验 8A · 相衬翻译器

让零级光与衍射光故意“错半拍”

纯相位物体的振幅不变，直接看强度可能什么也看不见。频谱中心的相移片只改变零级背景，再让它与携带相位结构的衍射光干涉。

相位起伏 φ₀0.20 rad

零级相移 δ90°

零级振幅透过 α0.80

处理前强度对比

0.000

处理后 Michelson 对比

0.471

I≈α²+φ²+2αφ sinδ

弱相位近似 u≈1+iφ；相移正负会翻转亮暗。φ 较大时必须回到完整复场传播。

固定强度纵轴：δ 接近 ±90° 时，一阶相位信息最有效地变成亮暗起伏；δ=0° 时一阶项消失。

相衬输出强度未处理纯相位物体

8.2 · 光学与数字处理：以 4f 系统为例

4f 是一台用传播距离搭出的 F—H—F 处理器。

第一片透镜的后焦面把空间频率 ν 映成物理位置 xƒ；把掩模 M(xƒ,yƒ) 放在这里，就实现 H(νx,νy)=M(λf₁νx,λf₁νy)。第二片透镜再重构输出。

G(ν_x,ν_y)=∬U₀e^{−i2π(νxx+νyy)}dxdy

采用 cycles/mm 的傅里叶约定；波长与焦距必须换成同一长度单位。

U₂(x,y)=C·F⁻¹{G·H} evaluated at (−x/m,−y/m)

C 含全局相位与尺度；m=f₂/f₁。负号表示输出坐标翻转。

实验 8B · 光路与频率尺

空间频率在焦面上有真实坐标

物面位于 L₁ 前焦面，频谱面同时是 L₁ 后焦面和 L₂ 前焦面，像面位于 L₂ 后焦面。下面光路按当前焦距比例绘制。

波长 λ₀532 nm

第一片焦距 f₁120 mm

第二片焦距 f₂160 mm

探针空间频率 ν₀16 cycles/mm

圆孔半径 aƒ1.20 mm

横向放大率 M

-1.33

物面到像面

560 mm

±ν₀ 的焦面坐标

±1.021 mm

截止 18.8 cyc/mm

探针通过

下方 ±6 mm 标尺同时决定频谱点和掩模宽度；不再用两套无关的像素比例。

两片处理透镜

完成“傅里叶展开—滤波—重构”的核心链；两镜间距是 f₁+f₂。

三透镜实验结构

常多一片扩束／准直镜来准备照明，不改变两片处理透镜的 F—H—F 核心。

“4f”这个名字严格对应 f₁=f₂=f 时的总物像距离 4f。焦距不等时，总长是 2(f₁+f₂)，频谱面也不一定在两镜几何中点。

8.3 · 驾驭空间频率

掩模先乘复场频谱，像面再显示模平方。

低通、高通、带通、方向与相位型滤波器都只是 H 的不同形状。频域相乘等于空间域卷积：h=F⁻¹{H}，输出场为 U₀*h，探测器最后才读 I=|U|²。

实验 8C · 二值光栅频谱手术

滤掉哪一组级次，像面就失去哪一种结构

50% 占空比振幅光栅只有零级和奇数级。频谱掩模乘在每个复振幅系数上，再由所有通过级次相干叠加。

光栅周期 p80 μm

截止频率 νc14 cycles/mm

基频 1/p

12.50 cyc/mm

零级 DC

通过

透过谱能量

90.5%

最低通过的非零级

|n|=1

U_out(x)=Σ c_nH(n/p)e^i2πnx/p

c₀=D；n≠0 时 cₙ=sin(πnD)/(πn)。探测器读取 |Uout|²，而不是带正负号的场。

紫色是通带，青色谱线通过，玫红谱线被阻断；横轴固定为 ±40 cycles/mm。

场可以为负，光强不能。只保留 ±1 级时，场按基频振荡，但模平方会出现二倍频亮暗。

输入场输出场 Re(U)探测强度 |U|²

低通

保留轮廓与缓慢变化；同时钝化边缘。

高通

压掉背景与低频，不等于“恢复”真实细节。

带通／方向

挑出尺度或方向；实物场通常需成对保留 ±ν。

相位型

|H| 可为 1，仍能重新分配输出强度与相位。

8.3 · 空间滤波的傅里叶分析

滤波器的边缘，也会成为图像的一部分。

理想矩形通带对应空间域 sinc 长尾；图像边缘与它卷积后出现 Gibbs 过冲。软化通带能压低振铃，却必然牺牲边缘锐度。

实验 8D · 硬边与软边

频域切得越突然，空间域拖尾越长

理想硬低通的冲激响应带长尾，因此台阶旁出现过冲与振铃。高斯软截止没有突然断点，代价是边缘过渡更宽。

硬截止频率 νc12 cycles/mm

高斯宽度 σν / νc0.65

硬边最大过冲

8.9%

硬边 10–90% 宽

35 μm

软边 10–90% 宽

55 μm

当前取舍

少振铃／宽边缘

g_hard(x)=½+Si(2πν_cx)/π

图中是相干场的台阶响应，不是非相干强度 PSF；两者不可直接混用。

固定空间坐标和振幅标度：振铃是硬频谱边界的数学后果，并不是物体真的长出了新条纹。

硬截止高斯软截止

8.4 · 4f 系统的孪生兄弟

把固定滤波器换成模板共轭，就得到空间相关器。

若场景频谱为 S、模板频谱为 G，令 H=G*，输出场就是场景与模板的互相关。它把大量平移位置的相似度并行映射到同一相关面。

实验 8E · 匹配相关器

把“像不像模板”变成相关面的峰

用模板频谱的复共轭作滤波器，逆变换得到互相关。峰的横坐标给出匹配位置，峰高反映当前相似度。

目标位置第 18 格

确定性场噪声0.05

模板失配10%

最强峰位置

目标位置峰值

0.900

全局峰强

0.900

定位误差

0 格

c=F⁻¹{S(ν)G*(ν)}=s⋆g

这里采用 c(ℓ)=Σ s[k+ℓ]g[k]；不同相关定义会改变峰位置的正负号。

色标相对洁净完全匹配固定。相关峰不是类别概率，也不表示系统“理解”了图像。

光传播擅长并行线性运算，但它不会自动理解答案。

4f 系统能以传播速度完成傅里叶变换、卷积与相关；真正的识别还需要探测、阈值、标定以及通常由电子系统承担的非线性和决策。

强项

天然并行、低延迟，高维复场可一次传播完成线性变换。

代价

相干噪声、对准、动态范围、有限口径与器件标定都会进入结果。

边界

相关峰只是相似性证据；分类、鲁棒性和语义判断需要额外系统。

场还是强度？

滤波用复场；相机只测强度。

口径有限

真实通带不会无限大。

采样有限

FFT 的 Nyquist 边界同样存在。

进入第九章

继续学习逆衍射、全息记录与相位恢复。

一页记住

第八章的六句话

014f 系统用第一片透镜展开空间频率、傅里叶面掩模修改频谱、第二片透镜重构输出场。
02频率与焦面坐标满足 xƒ=λf₁ν；横向放大率为 −f₂/f₁。
03掩模作用于复振幅频谱 H·G；探测器只在末端测量 |U|²。
04相衬通过单独移动零级光相位，把原本不可见的弱相位转成一阶强度对比。
05硬截止能选频，也会因长尾冲激响应产生振铃；软截止用锐度换平滑。
06匹配滤波器 H=G* 产生相关峰；峰代表相似性与位置，不是智能或类别概率。

下一章：衍射的逆问题。
从“给定系统预测输出”，走向“设计衍射相位，并由测量反推未知物体或波前”。

在傅里叶面动一处，整幅图像随之改变。