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高等光学概论第 9 章 · 衍射的逆问题
约 55 分钟0%
第 09 章 · 约 55 分钟

已知结果，能否反推出那束光？

正向衍射从复场预测强度；逆问题则从目标或测量反推相位元件、未知波前与隐藏信息。关键不只是“倒着算”，而是补回相机没有记录的相位。

DOE 逆设计全息交叉项数值再聚焦相位密钥
目标／强度约束与先验相位／器件
实验 9A · 相位型 DOE 设计台

把线性相位坡，变成指定衍射级

连续 2π 相位坡理想地把光送入目标级；制造只能提供有限相位级数时，能量会泄漏到其他级次。

目标衍射级 m+3
相位量化级数 L4 级
量化后的相位型衍射光学元件0一个 DOE 周期
纵轴是入射功率比例，固定为 0–1；量化越细，目标级通常越接近理想值。目标级衍射级 m功率比例-8.08.00.01.0
纵轴是入射功率比例，固定为 0–1；量化越细，目标级通常越接近理想值。
各衍射级功率

目标级效率

81.1%

最强衍射级

m=3

单级相位步进

90.0°

9.1 · 衍射光学元件的设计

设计 DOE，就是寻找一张能产生目标波前的相位地图。

衍射光学元件用微结构延迟不同位置的光。正问题是给定相位 φ(x,y) 计算输出；逆设计则给定目标强度或复场，寻找满足制造约束的 φ。量化级数、像素尺寸和有限口径都属于设计变量。

目标约束

希望焦点、光斑、阵列或图样在哪里，强度应是多少。

器件约束

常见相位型 DOE 要求 |t|≈1，且相位只能量化到有限级。

评价量

衍射效率、均匀性、背景噪声和制造容差不能只看一项。

φ(x,y)=2π[n−n₀]h(x,y)/λ₀
薄相位元件近似；h 是刻蚀深度，n 是器件折射率，n₀ 是环境折射率。
minimizeφ ‖|Pz{eiφ}|−Atarget‖²
目标与器件平面由传播算子 Pz 连接；逆设计通常是带约束的优化，而非一次除法。

9.2 · 光学全息与计算全息

参考光把看不见的相位，写进可记录的强度条纹。

光学全息用真实干涉记录；计算全息先由数字模型生成全息图，再交给空间光调制器或打印元件显示。两者都依赖同一个交叉项结构，并都要管理零级与共轭像。
实验 9B · 离轴全息记录

参考光把复场信息搬到频谱侧带

相机只记录强度，但物光与倾斜参考光的交叉项同时携带物光振幅和相位。倾角产生空间载频，把共轭侧带与零级项分开。

参考光倾角 θ0.80°
物光相位起伏0.35 rad
参考光振幅 Ar1.00
相机像素间距 Δx10 μm

载频 νr

26.2 cyc/mm

条纹周期

38.1 μm

相机 Nyquist

50.0 cyc/mm

采样状态

载频可采样

I=|O+R|²=|O|²+|R|²+OR*+O*R
O 是物光、R 是参考光；最后两项是一对互为共轭的侧带。
固定强度纵轴：倾角改变条纹密度，参考光振幅改变交叉项强度。传感器位置 x / mm记录强度-0.50.50.05.0
固定强度纵轴：倾角改变条纹密度，参考光振幅改变交叉项强度。
全息图强度
离轴全息图频谱中的零级和共轭侧带零级O*ROR*−1000+100 cyc/mm
青色框是当前相机可采样频带；侧带越界时会折返，不能靠数值滤波恢复原位置。

光学全息

物光与参考光在记录介质上真实干涉。

计算全息

已知或计算出的复场被编码成可显示的振幅／相位图。

数字全息

相机记录全息图，电脑滤波侧带并数值传播。

其他形式

彩虹、体全息、合成孔径等改变记录与再现条件。

9.2 · 数字全息与数值仿真

重建不是“增强照片”，而是继续传播恢复出的复场。

侧带滤波得到 O·R*；除去已知参考光后得到物光复场，再选择菲涅耳或角谱传播。教材中的 Matlab 仿真是实现路径，本页用浏览器执行同样的复场传播思想。
实验 9C · 数字全息再聚焦

记录一次，在电脑里试很多传播距离

数字全息先从载频侧带恢复复场，再用菲涅耳传播核数值传播。重建距离与真实距离一致时，二次相位失配最小。

波长 λ₀532 nm
物体距离 zo240 mm
重建距离 zr210 mm
有效半孔径 a1.2 mm

离焦量 zr−zo

-30 mm

相干聚焦指标

0.099

孔径边缘菲涅耳周数

5.64

最佳位置

约 240 mm

Pz(x)=exp[iπx²/(λz)]
教学模型是一维点物与有限孔径；真实数字全息要处理像素采样、零级、共轭像和传播算法边界。
横轴固定为 100–450 mm；峰值位置给出焦面，但强度归一化不能代替绝对能量标定。真实距离当前重建数值重建距离 zr / mm相干峰值100.0450.00.01.0
横轴固定为 100–450 mm；峰值位置给出焦面，但强度归一化不能代替绝对能量标定。
再聚焦指标

9.3 · 光学加密与图像隐藏

在物面和频谱面加入相位钥匙，让信息散布到整个复场。

4f 双随机相位编码利用两次相干变换把明文变成散斑；菲涅耳域隐藏则把传播距离也纳入密钥。它们展示光学并行变换的能力，但不能脱离攻击模型谈“绝对安全”。
实验 9D · 双随机相位编码

正确密钥把散斑还原，错误相位只留下噪声

4f 双随机相位编码在物面与频谱面各乘一把相位钥匙。解密必须按相反传播顺序乘共轭钥匙。

密钥相位误差0.00 rad

明文相似度

1.000

密钥状态

匹配

输入总能量

18.0

密文总能量

18.0

E=F−1{F[U·R₁]·R₂}
R₁、R₂ 为单位模随机相位；理想无损 DFT 下总能量守恒，但强度纹理被彻底重排。
输入明文振幅输入明文振幅 · 固定标度 0–1.0
加密面强度加密面强度 · 固定标度 0–2.0
解密振幅解密振幅 · 固定标度 0–1.2
这是说明“相位密钥敏感性”的理想教学模型，不是现实安全强度证明。实际系统还受已知明文攻击、器件量化、对准误差和密钥管理影响。

知识检查 · 5 道自测

逆问题的答案，来自测量与约束共同作用。

先分清目标、未知量和测量量，再判断相位信息由参考光、传播多样性还是密钥约束补回。

01“给定目标光强，求一个可制造相位元件”属于哪类问题？

02离轴全息中增大参考光倾角，最直接改变什么？

03全息图强度 I=|O+R|² 中，哪一项携带物光相位并可形成一阶侧带？

04数字全息能够在记录后数值再聚焦，依赖的核心是什么？

05双随机相位编码中密钥相位略有失配，为什么解密会迅速退化？

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第九章的六句话

  1. 01衍射逆设计从目标输出反推相位元件，制造量化与有限像素必须进入约束。
  2. 02相位型 DOE 不吸收也能重排能量；有限相位级数会把功率泄漏到非目标级。
  3. 03全息图的交叉项 OR* 与 O*R 把物光相位编码进可测强度。
  4. 04离轴参考光移动频谱侧带，但载频不能超过相机 Nyquist。
  5. 05数字全息恢复复场后可数值再聚焦；强度照片本身不能自由传播。
  6. 06双随机相位编码依赖相干相位钥匙；教学可逆不等于现实密码学安全。

下一章：叠层成像。
用多幅彼此重叠的强度测量增加冗余，让相位恢复从“猜一个答案”变成“反复满足共同约束”。