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高等光学概论第 7 章 · 衍射视角下的光学成像
约 55 分钟0%
第 07 章 · 约 55 分钟

图像不是被原样搬运，而是被光瞳重新合成。

物体先变成衍射频谱，有限数值孔径只接收其中一部分，再由这些频率重构像。沿着“频谱 → 光瞳 → PSF / OTF → 图像”这条链，理解分辨率真正由什么决定。

阿贝成像Airy PSF0.61λ/NA相干 Hc非相干 OTF

一幅像的四站旅程

物体

空间结构

后焦面

光瞳选频

像面

PSF叠加

传递函数

对比度读出

本章区分三件常被混用的事：阿贝周期判据、Rayleigh 两点判据、传递函数截止。它们回答的问题和条件不同。

7.1 · 阿贝成像、显微镜与阿贝–波特实验

显微镜先接收衍射级，再让它们重新干涉成像。

周期物体把轴上照明分解成 m=0,±1,±2…级。物镜后焦面将这些级次按空间频率分开；有限 NA 和后焦面掩模决定哪些“积木”能进入像面。
n sinθm=mλ₀/d,   |m|λ₀/d ≤ NA
正入射、均匀介质；NA=n sinα。νm=m/d，必须落入物镜接收角。
νc,coh=NA/λ₀
轴上单一相干照明的物方截止；宽角照明的一般支持约为 (NAobj+NAill)/λ₀。
实验 7A · 阿贝–波特频谱闸门

允许哪些衍射级次，像面就用哪些积木重建

默认是轴上相干照明、空气物方和一维 50% 占空比振幅光栅。有限 NA 先决定物镜能接收的级次，再用按钮模拟后焦面掩模。

真空波长 λ₀550 nm
物镜 NA0.35
光栅周期 d2.50 μm

后焦面掩模

物镜可接收最高级次

|m| ≤ 1

一级状态

通过

轴上相干截止周期 λ/NA=1.57 μm

物体频谱经过有限物镜光瞳后重建图像的阿贝成像流程物面光栅物镜后焦面：离散频谱成像镜像面重构
频谱棒只有在“物镜接收、对象系数非零、掩模放行”三项同时满足时才点亮。只留零级时，像面只剩均匀背景。
固定纵轴显示截断傅里叶级数的过冲；加入更多奇次级会让边缘更陡。横向位置 / 光栅周期相干强度0.03.00.01.6
固定纵轴显示截断傅里叶级数的过冲；加入更多奇次级会让边缘更陡。
重建强度 |U|²

物面

周期与方向决定离散频谱的位置；细结构对应更高空间频率。

后焦面

衍射级在这里分开，是物镜“看到哪些频率”的直接地图。

像面

通过的复振幅级次重新叠加；缺少高阶时仍可能有周期，却失去锐利边缘。

7.2 · 光学成像系统的衍射分析

有限光瞳让一个物点变成 PSF，让一幅物体变成卷积。

在近轴、小视场、等晕条件下，可以把成像系统看成线性空不变系统。但相干与非相干的“线性对象”不同：前者是复振幅，后者是强度。
Uᵢ=hc*Uₒ,  Gᵢ=HcGₒ,  Iᵢ=|Uᵢ|²
相干成像：先对复振幅卷积，再由探测器取模平方；不能直接把输入强度与 PSF 卷积。
Iᵢ=p*Iₒ,  Ĩᵢ=OTF·Ĩₒ
非相干成像：不同物点强度相加；p=|hc|²，并令 ∫p=1。
实验 7B · 光瞳 → PSF

一个物点，也会占据一片像面

均匀圆瞳的相干振幅响应经平方后得到 Airy 强度。改变 NA 或波长时，图的物理横轴同步改变，不用自动拉伸骗过尺度变化。

波长 λ₀550 nm
数值孔径 NA0.50

第一零点半径

0.671 μm

非相干截止

1818 cycles/mm

p(r)/p(0)=[2J₁(q)/q]²,  q=2πNA·r/λ₀
λ、r 使用同一长度单位；r=0 取极限值1。均匀圆瞳、无像差、标量模型。
紫色虚线是第一零点 ±0.61λ/NA；NA 加倍时，物理尺度约减半。−r₀+r₀物方等效半径 r（μm）p(r) / p(0)-2.02.00.01.0
紫色虚线是第一零点 ±0.61λ/NA；NA 加倍时，物理尺度约减半。
Airy 径向剖面
同一套符号里，别把“场”和“强度”互换。
照明模型线性量点响应频域函数截止
完全相干复振幅 UhcHc=归一化光瞳NA/λ
完全非相干强度 Ip=|hc|²OTF=F{p}2NA/λ

7.3 · 成像系统的分辨率

放得更大，不等于分得更开。

Rayleigh 比较两个等亮、互不相干点的 Airy 图样；阿贝判据询问周期结构的衍射级是否进入物镜。二者都依赖模型和判据，不是一个可无条件互换的“分辨率公式”。
实验 7C · 两点分辨率工作台

Rayleigh 是一个判据，不是一堵信息墙

两个等亮、互不相干点源的强度 PSF 直接相加。把间距调到 dR，可看到一个点的中心落在另一个点的第一零点附近。

波长 λ₀550 nm
数值孔径 NA0.80
两点间距 d / dR1.00 · 0.419 μm

Rayleigh 间距 dR

0.419 μm

中心 / 当前峰值

73.5%

d≈dR 时形成典型鞍部

两点互不相干，因此相加的是强度。若两点相干，结果还会随相对相位改变，不能套用同一条曲线。点1点2物方位置（μm）归一化强度和-0.90.90.02.0
两点互不相干，因此相加的是强度。若两点相干，结果还会随相对相位改变，不能套用同一条曲线。
两点强度之和

Rayleigh 两点判据

dR≈0.61λ₀/NA

清晰均匀圆瞳、无像差、两个等亮互不相干点源。它描述传统视觉判据，不是估计精度的绝对极限。

阿贝周期支持

dA≈λ₀/(NAobj+NAill)

必须给出照明 NA。轴上相干时 NAill=0；匹配宽角照明的理想支持可接近 λ/(2NA)。

7.4 · 相干成像和非相干成像

截止频率是边界，MTF 才告诉你边界里面还剩多少对比。

非相干 OTF 是广义光瞳的归一化自相关，MTF 是它的模、PTF 是它的相位。理想圆瞳的 MTF 从零频开始连续下降，不会在截止前保持满对比。
MTF(s)=2/π [acos(s)−s√(1−s²)],  0≤s≤1
仅适用于理想、无像差、均匀圆瞳的非相干成像；s=|ν|/(2NA/λ₀)。
实验 7D · CTF / OTF 扫频

同一个圆瞳，两种线性系统

相干系统对复振幅线性，画的是振幅传递 Hc；非相干系统对强度线性，画的是强度正弦对比传递 MTF。两条线不能当成同一输入的简单优劣排名。

波长 λ₀550 nm
数值孔径 NA0.40
探针频率 ν / (NA/λ)0.70 · 509 cycles/mm

相干振幅增益

1.000

非相干强度对比增益

0.564

相干截止

727 cycles/mm

非相干截止

1455 cycles/mm

理想均匀圆瞳：相干振幅支持到 NA/λ；非相干圆瞳 MTF 平滑下降并在 2NA/λ 归零。探针相干截止非相干截止ν / (NA/λ)传递增益0.02.20.01.0
理想均匀圆瞳：相干振幅支持到 NA/λ；非相干圆瞳 MTF 平滑下降并在 2NA/λ 归零。
相干 Hc（振幅）非相干 MTF（强度）

MTF

OTF 的幅值：一个空间频率的正弦对比被保留多少。

PTF

OTF 的相位：结构相位/位置如何随频率改变；不能只看 MTF。

采样

传感器物方采样间隔还要满足 Nyquist；像素孔径会再乘一个 pixel-MTF。

7.5 · 扩展阅读：有像差系统的传递函数

像差不必移动截止线，也能让细节在通带内消失。

把波像差写入 P=Aexp(i2πW/λ)，再由 P 得到 PSF 与 OTF。活塞只给全局相位，倾斜主要平移点像；离焦、像散、彗差和球差则会以不同方式重排能量。
实验 7E · 有像差传递函数

支持范围仍在，对比度可能已经塌陷

这个一维单位光瞳切片只加入离焦相位，用来隔离一个事实：像差可以不改变几何截止，却改变通带内 OTF。真实圆瞳和二维像差需二维计算。

离焦系数0.00 waves

ν=0.5 处 MTF

0.500

一维切片；OTF(0)始终归一为1

OTF(ν)=⟨P(q+ν/2), P(q−ν/2)⟩ / ‖P‖²
广义光瞳 P=Aexp(i2πW/λ)；像差进入自相关中的相位差。
固定归一化频率轴；曲线在 ν=1 都归零，但通带中的细节对比并不相同。归一化频率 ν / νcMTF0.01.00.01.0
固定归一化频率轴；曲线在 ν=1 都归零，但通带中的细节对比并不相同。
当前 |OTF|理想一维 OTF
下一章进入 4f 系统——后焦面的频谱不再只是被动观察，而会被主动调制。

知识检查 · 5 道自测

每道题先辨认：在谈场、强度、判据，还是传递函数？

条件写对，公式才有意义。完成后展开解析，尤其留意“相干／非相干”和“Abbe／Rayleigh”的边界。

01二维网格频谱只放行 (0,0) 与 (±f,0)，像面主要剩下什么？

02λ=0.50 μm、NA=0.50、周期 d=0.80 μm，轴上单一相干照明能传一级吗？

03λ=550 nm、NA=1.10，两等亮互不相干点相距 280 nm，按 Rayleigh 判据如何？

04理想圆瞳非相干成像在 ν=νc/2，输入正弦对比度 0.70，输出约多少？

05两系统具有同样通光口径与截止频率，B 有明显波像差。“分辨率完全相同”充分吗？

完成 0 / 5 题

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第七章的六句话

  1. 01周期物体产生离散衍射级；有限 NA 只让部分空间频率参与重构。
  2. 02点物经有限圆瞳形成 Airy PSF；图像不是几何点的一一搬运。
  3. 03Rayleigh 两点判据约为 0.61λ/NA；Abbe 周期支持还依赖照明 NA。
  4. 04相干成像对复振幅线性，非相干成像对强度线性。
  5. 05理想圆瞳的相干截止为 NA/λ，非相干截止为 2NA/λ，但两者输入模型不同。
  6. 06像差可不改变截止支持，却会改变 PSF、MTF 与 PTF；实际可见性还取决于噪声和采样。

下一章：4f 系统。
从分析成像系统，走向在傅里叶面主动驾驭空间频率。