衍射模型｜高等光学第四章

01 · 模型与前提

标量，不等于近轴；传播，也不只剩傅里叶变换。

用一个复数场U描述振幅与相位，是标量模型。它暂时省略偏振耦合与复杂矢量边界；是否进一步作近轴近似，是另一层选择。

(∇² + k²)U = 0

单色、均匀无源介质中的标量亥姆霍兹方程。

U(P) = ∬ U₀(Q)K(P,Q)dS

边界积分的概念写法：K包含传播相位、幅度和方向因素，不把它冒充完整基尔霍夫公式。

保留什么

波动、振幅、相位与相干叠加。边界场需要是复振幅，而不是一张强度图。

暂不处理什么

强偏振耦合、亚波长材料边界、需要完整矢量模型的高数值孔径细节。

怎样选公式

先确认模型前提，再判断近轴与远场条件；公式更复杂不等于离散计算自动更准。

本章统一约定：时间因子 e^−iωt，向+z传播采用 e^+ikz；λ是介质中的波长，k=2π/λ。傅里叶正变换指数使用负号。所有实验先求复振幅，再取模平方。

历史线索 · 从直觉到可计算模型

惠更斯

把波面分解成次波源

菲涅耳

让次波带着相位相干叠加

基尔霍夫

以边界积分联系波动方程与衍射

02 · 两层近似

从球面波到二次相位，再到远场频谱。

菲涅耳保留传播距离的二次项；夫琅禾费在此基础上再忽略物面二次相位。它们是同一传播问题的不同近似，不是两种互不相干的现象。

r = √(z²+ρ²) ≈ z + ρ²/(2z) − ρ⁴/(8z³) + …

ρ是物点到观察点的横向距离。菲涅耳截断到二次项；遗漏相位 kρ⁴/(8z³) 应在参与计算的范围内足够小。

保留二次相位

菲涅耳：在空间域做卷积

波前还保留曲率。改变z，近场图样的细节与形状都可能改变，不只是把旧图案放大。

U_z(x,y) = U₀(x,y) * h_z(x,y)
h_z = e^ikz/(iλz) · exp[iπ(x²+y²)/(λz)]

再忽略物面二次相位

夫琅禾费：远场展开频谱

对给定孔径和近轴观察范围，如果物面二次相位已经很小，观察面复振幅就与物面复振幅的傅里叶变换成比例。

U_z ≈ e^ikz/(iλz) · e^{iπ(x²+y²)/(λz)} · Û₀(x/(λz), y/(λz))

观察面前面的二次相位通常仍在；它不改变本平面强度，却会影响后续相干传播。

N_F = (w/2)²/(λz) ≪ 1

本页w总是单缝全宽；N_F明确使用半宽。远场更直接的条件是被忽略的最大物面相位πN_F足够小。

I(x)/I(0) ≈ sinc²[wx/(λz)]

sinc(u)=sin(πu)/(πu)，sinc(0)=1。仅此归一化强度式不包含传播功率标尺。

模型	保留的传播信息	别误用成
角谱	各空间频率的纵向波数	“只适合远场”
菲涅耳	近轴二次传播相位	“所有近场都能用”
夫琅禾费	远场频谱与坐标缩放	“强度的傅里叶变换”

03 · 另一种表述

角谱：让每个平面波走自己的那一程。

先把光场拆成不同方向的平面波，各自乘传播因子，再逆变换相加。连续角谱表述不需要菲涅耳近轴展开；标量与均匀介质的前提仍然存在。

U_z = 𝓕⁻¹{Û₀ · H_AS}

H_AS = exp[i2πz√(λ⁻²−fₓ²−fᵧ²)]

交互实验 02 · 跟随一个空间频率

传播分量

归一空间频率 q = λfₓ0.60

传播距离 z/λ1.00

横向 x：−2λ → 2λ；向下 z：0 → 3λ。白线是选定距离。颜色表示场的实部，不是强度。

传播因子 H 的相量

|H| = 1.0000

arg H = -0.40π

相位显示主值（−π, π]

q ≤ 1：纵向波数为实数，传播只转动相量，不改变这个分量的模长。完整图像仍会变化，因为不同空间频率转动得不同。

本实验取 fᵧ=0，展示已知边界场的一个标量分量；它不代替亚波长结构的矢量电磁边界求解。

模型之间的连接：当 λ²(fₓ²+fᵧ²) 很小时，对根号作展开，就得到菲涅耳传递函数 H_F=e^ikze^{−iπλz(fₓ²+fᵧ²)}。因此角谱不是“菲涅耳之后的更远一层”，而是同一传播问题的另一种表达。

04 · 数值模拟

连续公式没错，离散结果也可能错。

FFT默认计算一个周期窗口。输入被采得太粗、频率网格不够密、光场从边界绕回来，都能制造漂亮却错误的衍射图样。

交互实验 03 · 像素越小，一定越准吗？

固定 λ=532 nm、z=100 mm，输入频带 |fₓ|≤15 cycles/mm。调整采样数和间距，看“输入够不够细”和“传播因子够不够密”能否同时满足。

每轴采样数 N256

采样间距 Δx10 μm

视场 L = NΔx

2.56 mm

频率间距 Δf = 1/L

0.391 /mm

奈奎斯特频率 1/(2Δx)

50.0 /mm

输入频带可容纳

奈奎斯特频率高于15/mm，采样间距能容纳设定的输入频带。

传播相位步长 ≈ 1.96 rad

在已设频带边缘，相邻频点的菲涅耳传播相位差估计小于π。

相位步长采用一维菲涅耳传递函数估计 Δφ≈2πλz fmax Δf。它是方法相关的数值提醒，不是充分精度保证；即使两项均通过，也还要检查窗口回卷、二维频带和收敛性。

先扩展窗口

固定Δx，把N加倍，看中心有效区域的结果是否稳定。

再细化网格

固定视场L，减小Δx并增加N，检查结果是否收敛。

分清补零与信息

补零能加密频率网格，却不能恢复已混叠的高频；能量守恒也不能排除周期回卷。

教材Matlab路线的最小骨架

已知出口面复振幅U₀后：傅里叶变换 → 乘传播因子 → 逆变换 → 取模平方。下面只展示核心顺序；实际模拟还需要输入构造、补零/带限和收敛检查。

% U0：元件出口面的 N×N 复振幅（不是强度）
lambda = 532e-9; z = 0.1; N = 256; dx = 10e-6;
fx = (-N/2:N/2-1)/(N*dx);
[Fx,Fy] = meshgrid(fx,fx);
k = 2*pi/lambda;
A0 = fftshift(fft2(ifftshift(U0)));
H = exp(1i*k*z*sqrt(complex(1-(lambda*Fx).^2-(lambda*Fy).^2)));
Uz = fftshift(ifft2(ifftshift(A0.*H)));
I = abs(Uz).^2;

这里用同网格角谱法；不要把它的输出坐标与“单次FFT菲涅耳法”混用，后者的输出间距通常是 Δx′=λz/(NΔx)。

05 · 拓展探索

两个特殊现象，一条共同线索：传播相位。

周期谱线可以重新同相，于是出现自成像；环形角谱可以共用一个纵向波数，于是横截面近似不变。这不是绕开衍射，而是用特定角谱组织衍射。

交互实验 04 · 泰伯（Talbot）自成像

没有透镜，光栅也能“再出现”

正弦振幅光栅 t(x)=½+½cos(2πx/d)，只含0、±1级。不同级次传播后重新同相，就会复现出口场。

光栅周期 d40 μm

观察距离 z/zT0.50

横向 x/d：−2 → 2；向下 z/zT：0 → 2。亮度线性表示 I/Iinc（固定0–1），白线标出当前截面。

出口面强度（虚线）当前截面强度

横轴 x/d；纵轴 I/Iinc，不逐帧归一化。

泰伯距离 zT = 2d²/λ

6.02 mm

λ固定为532 nm

当前物理传播距离 z

3.01 mm

在 zT 处原位复现；在 zT/2 处，这个光栅的自像横向平移 d/2。周期加倍，zT变成四倍。调d只改变这里的物理标尺，不改变归一化光毯。

模型条件：相干平面波正入射、无限周期光栅、傍轴传播。有限光栅的边缘和非傍轴相位会限制自成像质量。

U(r,z)=J₀(k_rr)e^ik_zz, k_r²+k_z²=k²

交互实验 05 · 贝塞尔光束

让所有平面波拥有同一个纵向波数

把角谱放在一个圆环上，各方向分量的 k_z 相同，沿z传播时一起转相位，横向叠加的形状就可以保持。

锥角 θ1.00°

有限孔径半径 R1.00 mm

理想角谱示意
环上所有分量 k_z = k cosθ

理想横截面 J₀²(kᵣr)

横向坐标（μm）；强度相对轴上值。虚线标出第一零点。

中心光核半径 r₀

11.67 μm

2.4048/(k sinθ)，λ=532 nm

有限孔径有效距离估计

57.3 mm

zmax ≈ R/tanθ，几何估计

更大的锥角带来更细的光核，也缩短有效距离。增大孔径可以延长距离，但不意味着“永不衍射”。

理想J₀光束有无限横向范围与无限总能量，实际只能有限距离近似实现。图中使用理想横截面；R只用于有限距离估计，没有伪装成完整的截断光束传播模拟。

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第四章的六句话

01先传播复振幅，再取模平方；强度不是可直接相干传播的光场。
02标量是假设；近轴是另一层近似，二者不能混为一谈。
03菲涅耳保留二次传播相位；夫琅禾费进一步忽略物面二次相位。
04N_F由孔径、波长和距离共同决定；“几米以外”不自动等于远场。
05角谱逐频率乘传播因子；FFT结果仍受采样、窗口与相位步长限制。
06泰伯来自谱线重新同相；理想贝塞尔来自共用纵向波数的环形角谱。

下一章：干涉模型。
从一个光场的传播，走向多个光场的叠加与相干性。

把光场送往远方，究竟要算什么？

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