干涉模型｜高等光学第五章

5.1 · 叠加的正确顺序

光加光，不一定更亮。

衍射与干涉都来自波的叠加。“衍射”通常强调一个波前各部分的传播贡献，“干涉”常按几条可辨认的光路分组；它们不是两套互斥的物理规律。

I = |U₁ + U₂|² = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos Δφ

U 为强度归一化复振幅；先相加再取模平方。这里假定同频、同偏振且完全相干，Δφ = φ₂ − φ₁。

双光束条纹台

实验 01

屏幕横坐标 x = −60 至 +60 μm；固定显示标尺 I / I₁ = 0–4，不逐帧拉伸亮度。

横轴 x（μm） · 纵轴 I / I₁

相干叠加无交叉项的强度和

先把相位从 0° 拖到 180°：原来的亮纹会变暗。再减弱第二束光：黑色暗纹能否保留？

两束光的初始相位差0°

强度比 r = I₂ / I₁1.00

两束光的总夹角 θ2.0°

条纹间距

15.24 μm

可见度 V

1.000

λ = 532 nm；两束单色平面波对称入射（±θ/2），同偏振、完全相干。I₁ 保持不变；r 是强度比，不是振幅比。

交叉项才是关键

I₁+I₂ 只是背景。相位差通过余弦项让光强偏离这个背景；探测器不直接读取单束光的绝对相位。

间距由方向差决定

对称入射时 Λ=λ/[2sin(θ/2)]。夹角更大，条纹更密；初始相位移动条纹，不改变条纹间距。

相消并不违反能量守恒

局部变暗对应其他位置或输出端变亮。空间条纹要求相位差随位置变化；共线平面波可呈均匀亮暗。

展开：最小计算骨架与建模边界

U1 = ones(size(x));
U2 = sqrt(r) .* exp(1i*(q*x + phi0));
I  = abs(U1 + U2).^2;  % 完全相干时先加复振幅
% 部分相干时应使用平均交叉项，而非永远锁相的一对场。

本页直接计算解析表达式，不是光学实验录像，也不包含完整矢量电磁边界问题。空间与时间曲线都标有物理坐标，不按屏幕刷新率模拟光频振荡。

5.2 · 三种典型干涉仪

改变的不是原理，而是两路光经历了什么。

分束、引入差异、合束、读出。迈克耳孙把位移变成往返光程差；马赫–曾德尔适合插入样品；萨格奈特让同一环路上的顺逆传播比较转动。

实验 02

光路拓扑示意，不按比例；仅画出输出 A。彩色线区分两路场，不表示两种波长。

输出 A / 入射功率

1.000

输出 B / 入射功率

0.000

两个输出之和恒为 1。暗端的能量没有消失，而是转向另一个输出；模型忽略吸收，采用理想 50:50 分束和等强重合。

往返一次，光程变化加倍。

镜子移动 Δx，去程和回程各多走 Δx。关闭读出偏置时，从 0 拖到 158.2 nm，观察亮暗互换；到 316.4 nm 回到同一输出状态。

镜面位移 Δx0.0 nm

ΔOPL = 2Δx
Δφ = 4πΔx / λ₀

由被测量引起的相位变化

0.000 π

加读出偏置后：0.000 π

统一 λ₀ = 632.8 nm。I_A / I_in = [1+cos(Δφ+φ_bias)]/2。相位零点经过校准；分束器/反射的固定相位已吸收到零点，不应推断实际等臂时指定端口必然亮。

测量小变化时，π/2 附近是强度曲线斜率最大的工作点；峰顶和谷底的一阶斜率为零。即便加偏置，余弦仍是周期性的，全范围相位读出往往还需正交检测、条纹计数或相位解包裹。

5.3 + 5.4.1 · 时间与部分相干

不是“有或没有”，而是平均后还能留下多少。

独立光源的相对相位通常快速漂移；探测器平均后，交叉项可能趋近零。时间相干比较同一光场的延迟版本，空间相干比较不同位置的光场。相干性描述相关程度，不能只看某一瞬间的波形。

Γ₁₂(τ) = 〈U₁*(t) U₂(t+τ)〉
g₁₂(τ) = Γ₁₂(τ) / √(I₁I₂)

Γ 是互相干函数，〈·〉为统计平均（可用适当的时间平均估计）。I_j=〈|U_j|²〉，归一化后 |g|≤1。

V = (I_max−I_min)/(I_max+I_min)
= [2√r/(1+r)] |g| |cos α|

同一标量相干模型下，线偏振夹角为 α、无额外背景、扫描总相位。V 是可见度，不能一般地写成 V=|g|。

时间相干与可见度诊断

实验 03

保持光程差包络不变，独立扫描相位的等效条纹；固定显示标尺 I / I₁ = 0–4，不逐帧拉伸亮度。

横轴真空光程差（mm） · 纵轴相干度模；虚线为当前光程差

|g(τ)|

时间相干度 |g|

0.673

实际可见度 V

0.673

这里的条纹用于对比包络与可见度；独立相位扫描省略了光程差引起的快速载波相位。并非把毫米级光程变化误画成几条真实条纹。

增加线宽，包络会变窄。再把两束光的偏振转到 90°：相干度仍可很高，直接强度探测却看不到条纹。

高斯功率谱线宽 Δν（FWHM）100 GHz

真空光程差 ΔOPL1.00 mm

强度比 I₂ / I₁1.00

线偏振夹角 α0°

本页的相干长度 Lₑ

1.589 mm

正光程差处 |g| = 1/e；不是 FWHM，也不是强度包络宽度。

|g(τ)| = exp[−π²Δν²τ² / (4 ln 2)]

τ = ΔOPL/c；Δν 是频率域功率谱的半高全宽。不同谱形/宽度定义会给出不同系数。

一般形式：I=I₁+I₂+2√(I₁I₂)|g| cos δ_total（同偏振）。δ_total 已包含复相干度的相位及额外光路相位，同一相位贡献只计一次。谱越窄，通常时间相干范围越长；这不自动保证不同空间位置之间高度相干。

5.4.2 · 范西泰特–泽尼克定理（VCZ）

相干性里，藏着光源的形状。

在适用条件下，远场空间相干度与源的角强度分布是一对归一化傅里叶关系。让两处采样点逐渐分开，测量条纹对比度，就在探查源的空间结构。

μ(b) = ∫B(θ)e^{−i2πbθ/λ₀}dθ / ∫B(θ)dθ

一维写法；B(θ) 是源角强度，b 是基线，λ₀ 是真空波长。准单色、空间非相干源、远场小角度，扣除已知几何相位。

μ(b) = sinc(bΘ/λ₀)
b₀ = λ₀/Θ

居中均匀线源，Θ 为全角宽且用弧度；sinc(u)=sin(πu)/(πu)。注意不是 sinc²：相干度本身可以有负瓣。

从源的角宽，到空间相干

实验 04

横轴双孔基线 b（mm） · 纵轴相干度模；虚线为当前基线

|μ(b)| = V（等强同偏振）

当前基线对应的等效相位扫描，保留 μ 的负号；固定显示标尺 I / I₁ = 0–4，不逐帧拉伸亮度。

一个扩展光源可看作许多互不相干的源点。每个源点产生一套位置不同的条纹；把这些强度相加，条纹可能洗掉。

均匀线源的全角宽 Θ1.00 mrad

两个采样点的基线 b0.250 mm

独立读出相位0°

实相干度 μ

0.637

首零基线 λ₀/Θ

0.500 mm

当前 μ 为正。源角宽增大时，主相干区域通常收窄；固定基线上的旁瓣并非严格单调。

λ₀ = 500 nm；一维均匀、居中、准单色、空间非相干源，远场小角度，扣除几何相位。示意光路不按比例；其他源形状并不都得到 sinc。

三次遇到傅里叶变换，变换的对象并不相同。
场景	输入	输出
夫琅禾费衍射	孔径面的复振幅	远场复振幅（含比例/相位因子）
时间相干	光源的功率频谱	时间互相关 / 相干函数
VCZ 空间相干	非相干源的角强度分布	远场复相干度

5.5 · 从干涉到测量

把微小变化，搬到能够读出的信号上。

同频读出看强度随相位变化；外差加入一个已知频率差，让被测相位进入电学拍频信号。探测器不用追踪每一次光学振荡，只需响应较低的差频。

看得见的是差频，不是光频

实验 05

横轴时间（ms） · 纵轴 I / I_s；这是静态时间曲线，不是按光频播放的动画

理想拍频信号曝光平均后

一个拍频周期

500.0 μs

平均后的可见度

0.984

点击“一周期曝光”：探测器把一个周期的亮与暗平均掉，信号回到直流。提高拍频并不自动提升可测性，读出系统必须跟得上。

连续时间、中心对称矩形曝光模型，不包含离散采样混叠和电子噪声。实测还需足够探测带宽及适当采样率；仅满足曝光条件并不够。

两光束频率差 |Δf|2.0 kHz

被测相位差 Δφ0°

矩形曝光时间 T50.0 μs

I(t) = 2 + 2 cos(2πΔf·t + Δφ)

I_s = I_LO = 1；采用 e^(−iωt)，约定 Δf = f_LO−f_s > 0、Δφ = φ_s−φ_LO。同偏振、模式匹配且互相干，光学载波已经过周期平均。

Ī(t) = 2 + 2 sinc(Δf T) cos(2πΔf·t + Δφ)

sinc(u)=sin(πu)/(πu)。矩形曝光以 t 为中心，因此无额外时移；响应为负时还会产生 π 翻转。T=0 表示理想瞬时读出极限。

从条纹数，到位移

真空迈克耳孙中，移动 N 个条纹周期对应 Δx=Nλ₀/2。连续计数可跨越多个周期；单个强度读数通常不能唯一确定绝对位移。

测量精度还受相位噪声、环境扰动、波长标定、模式匹配和读出带宽影响。“波长量级条纹”不意味着只能测到一个波长的变化。

引力波：读出差分臂长

引力波可引起两臂相对光程的变化，经干涉转化为可读信号。LIGO 使用增强的迈克耳孙结构，还包含臂腔、光功率回收、隔振与精密控制，不能当作桌面双臂装置的简单放大版。

阅读 LIGO 官方结构说明

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第五章的六句话

01先加复振幅，再取模平方；稳定条纹来自平均后保留下来的交叉项。
02相位差来自光程、介质或转动；三种干涉仪采用不同的比较光路。
03迈克耳孙镜子移动 Δx，往返光程改变 2Δx；一个条纹周期对应 λ₀/2 的镜移。
04可见度同时受相干度、强度比、偏振及背景影响；不是相干度的无条件替身。
05时间相干联系功率频谱；VCZ 把源角强度分布联系到空间相干度。
06外差读出差频和相位；积分、带宽与采样决定信号能否被保留下来。

下一章：透镜的变换作用。
从传播与叠加，走向透镜如何把空间频率变成位置。

干涉模型把相位差，变成看得见的明暗。