透镜的变换作用｜高等光学第六章

6.1 · 透镜的相位变换作用

聚焦的第一步，不是光线相交，而是相位被重新排布。

双凸透镜中心厚、边缘薄，材料中的额外光程随半径改变。去掉不影响观察的常数相位并采用薄透镜、傍轴近似，就得到最重要的负二次相位。

1/f = (n−1)(1/R₁−1/R₂)

空气中的薄透镜、Cartesian 曲率符号；对称双凸时 R₁=+R、R₂=−R。

t_L(x,y)=P(x,y)e^{−iπ(x²+y²)/(λ₀f)}

P 是有限光瞳；采用 E=Re{Ue⁻ⁱᵠᵗ}，正 f 为会聚透镜。

实验 6A · 弯曲波前

从两面曲率，走到一张相位地图

假定空气中的薄、对称双凸球面透镜。先由透镜制造者公式得到焦距，再看通光口径内的二次相位；彩环只是相位对 2π 取模后的显示。

折射率 n1.52

曲率半径 |R|140 mm

真空波长 λ₀532 nm

通光半径 a3.0 mm

薄透镜焦距

134.6 mm

边缘相位圈数

-62.8 × 2π

相对中心，符号表示相位方向

边缘光程差（傍轴）

-33.4 μm

焦比 f / 2a

22.4

透镜没有“把所有点推向中心”；它给不同半径位置不同的相位斜率，传播后这些方向在焦点会合。

未包裹的二次光程剖面；颜色环会周期重复，但真实相位斜率仍连续。

相对光程差

6.2 · 透镜与傅里叶变换

焦面不是另一张普通的图，而是一把空间频率尺。

输入中的每个平面波方向对应一个空间频率；透镜把不同方向会聚到后焦面的不同位置。零频落在轴上，正负频率分居两侧。

实验 6B · 频率尺

调一个光栅，看 ±1 级在焦面移动

周期越小，空间频率越高，焦面光斑离零级越远。这里使用近轴标量模型，焦面坐标与 cycles/mm 成正比。

波长 λ₀532 nm

焦距 f160 mm

光栅周期 p60 μm

基频 1 / p

16.67 cycles/mm

±1 级位置

±1.419 mm

νₓ = x_f / (λ₀ f) ⇄ x_f = λ₀ f νₓ

ν 采用 cycles/mm，λ 换成 mm；离轴角较大时应回到 sinθ=λν，而不是继续用小角度位置式。

实验 6C · 三种放置位置

镜前与镜后物体，要用两套距离定义

镜前输入面距透镜 d，观察面固定在后焦面；系统矩阵 A=0、B=f，D=1−d/f 控制输出二次相位。

镜前距离 d / f1.00 · 前焦面

ABCD 矩阵第一行

[ 0, f ]

剩余相位系数 D

0.00

U_f ∝ e^{iπ(1−d/f)x_f²/(λf)} · F{U₀}(x_f/λf)

忽略全局比例与全局相位。d=f 时外部二次相位消失；有限光瞳若造成渐晕，强度也会随位置改变。

镜前输入的外部二次相位形状；前焦面 d=f 时变平。

归一化剩余相位

6.3 · 衍射的标准分析——空频对易

在一个域里收紧，就会在另一个域里铺开。

空间上的有限窗口必然带来频谱展宽。透镜让这个互易关系变得可见：焦距与波长设定换算比例，通光口径设定焦斑尺度。

实验 6D · 空频对易

孔径越窄，焦斑越宽

有限透镜同时也是一个光阑。口径截断空间场，焦面出现衍射展宽；扩大口径会收窄焦斑，但不等于消除全部像差。

通光直径 D8.0 mm

焦距 f120 mm

波长 λ₀532 nm

近轴数值孔径

0.033

圆孔焦斑第一零点半径

9.74 μm

圆孔、均匀照明、无像差、傍轴条件下 r₀≈1.22λf/D。这里只显示尺度关系，不把图案误当作真实相机噪声。

位移

物体平移主要改变频谱相位，理想傅里叶幅度不因此平移。

缩放

物体压窄会让频谱展宽；物体拉宽会让频谱收窄。

截断

口径不是无害的边框；它与输入场相乘，频域中对应卷积。

6.4 · 像差的衍射分析

把像差放进光瞳相位，就能从波前一路算到图像对比度。

广义光瞳 P=Aeⁱ²πᵂ⁄λ 同时记录“哪里透光”和“相位偏了多少”。相干传递看光瞳本身；非相干 OTF 看光瞳的归一化自相关。

P(ρ)=A(ρ)e^{i2πW(ρ)/λ₀}

W 是光程差，不是强度；若用 waves 表示，指数中的 W/λ 就是波数。

OTF(ν)=∫P(q+ν/2)P*(q−ν/2)dq / ∫|P(q)|²dq

分母确保 OTF(0)=1；MTF=|OTF|，相位则是 PTF。

实验 6E · 广义光瞳

截止边界没动，像却已经模糊

光瞳振幅 A 仍是同一条开口，但波像差 W 改变了相位。观察轴上峰值和通带内 MTF，而不是只盯着“有没有通过”。

离焦系数0.00 waves

球差系数0.00 waves

一维轴上峰值 / 理想峰值

100.0%

固定归一化，不把每条 PSF 拉回 1

光瞳相位剖面（−π 到 +π 循环着色）

一维光瞳切片的衍射 PSF。像差会降低中心峰并把能量移到旁瓣。

当前 PSF理想 PSF

由广义光瞳自相关得到；ν=1 的几何支持边界不变，通带内对比传递却会下降。

|OTF|（一维切片）

6.5 · 扩展阅读：广义“透镜”

真正不可替代的不是玻璃，而是那张相位函数。

只要器件能近似写出所需相位，就能承担“透镜”的部分角色：折射面、衍射光学元件、相位板或空间光调制器都可纳入同一复透过率框架。

连续折射透镜

靠材料厚度连续变化累计光程；宽带性、像差和加工误差要另外评估。

相位包裹器件

把相位按 2π 折回仍可在设计波长形成同等相位；色散与衍射级效率会不同。

可编程相位面

把相位函数写入像素阵列，适合演示与校正；像素采样、填充因子和偏振响应不能忽略。

边界提醒：本章只讲“单片透镜如何实现变换”。把两片透镜组成 4f 系统并在共同焦面主动滤波，是教材第 8 章的主题。

一页记住

第六章的六句话

01薄透镜对复振幅乘上有限光瞳与二次相位；正焦距会聚、负焦距发散。
02后焦面坐标 xƒ 与空间频率 ν 由 xƒ=λfν 对应。
03输入面移动会改变后焦面频谱外的二次相位；前焦面输入时该项消失。
04空间截断与频域展宽互易；孔径越小，焦面衍射斑越宽。
05广义光瞳把振幅孔径和波像差放在同一个复函数里。
06相同截止支持不保证相同像质；还要看 PSF、OTF、MTF 与 PTF。

下一章：衍射视角下的光学成像。
让“频谱通过了多少”继续变成“图像还能看见多少细节”。

透镜不是“放大玻璃”，而是一台相位变换器。