从孔径的边缘，
走到图像的频谱

先看整章的主线

教材先问“知道孔径与照明，屏上会有什么光场”，再问“怎样利用衍射图样反推波长与物体细节”，最后问“能否设计孔径、滤波器或全息图，让输出光场变成我们想要的样子”。这条线把前面学过的复振幅、相位与干涉带入工程应用。

11.1 标量衍射：每一点都是子波源

一个挡板、狭缝、相位片都可用复透射系数 t(x,y)=A(x,y)e^iφ(x,y) 描述。透过后光场是 U₀(x,y)t(x,y)；改变振幅或相位都会改变后续传播。惠更斯提出波面上各点产生子波；菲涅耳补上子波间的相干叠加，这才能解释亮暗分布。基尔霍夫衍射公式把倾斜因子与边界条件写得更明确。

近轴且观察点距孔径远于波长时，传播距离可展开为 r≈z+[(x−ξ)²+(y−η)²]/(2z)，获得菲涅耳积分。当孔径自身的二次相位也可忽略，进入夫琅和费近似，观察光场便与孔径复振幅的二维傅里叶变换成正比。这个“远场”还可以由透镜后焦面产生，无须把屏幕真的移到无限远。

从基尔霍夫积分到两个近似

设孔径面坐标为 (ξ,η)，观察点 P=(x,y,z)，Q 到 P 的距离为 r。基尔霍夫公式的近轴骨架可写成 U(P)≈(1/iλ)∬_孔径U(Q)K(θ)e^ikr/r dξdη。倾斜因子 K(θ) 表示子波方向性；近轴时可近似为 1，振幅分母 r 可近似为 z，相位里的 r 却不能一并设成 z，否则条纹就被抹掉了。

推导时对距离展开：r=z+ρ²/(2z)−ρ⁴/(8z³)+…，其中 ρ²=(x−ξ)²+(y−η)²。忽略四次项要检查其最大相位误差 kρ_max⁴/(8z³) 是否远小于 π。继续忽略孔径坐标自身的二次相位 k(ξ²+η²)/(2z)，才得到夫琅和费傅里叶积分。于是夫琅和费区域包含在菲涅耳近似可用的区域内；“菲涅耳衍射”在这里不是“夫琅和费衍射”的互斥反义词。

11.2 菲涅耳衍射：圆孔为何能先亮后暗？

对轴上观察点，把圆孔波面划成相邻光程差约 λ/2 的同心环带。相邻半波带的贡献相位近乎相反；圆孔半径变大，依次露出更多波带，轴上光强就会起伏。这说明“孔更大一定更亮”在近场轴上并不总成立。小圆屏后中心可能出现亮点，即泊松亮斑；它来自边缘子波的相干叠加，圆屏足够大时亮点也会变弱。

半径为 ρ_j 的第 j 个波带边界，在平面波照明、近轴条件下满足 ρ_j²≈jλz。遮挡交替波带，剩下的贡献在设计位置趋于同相，就得到振幅型波带片；改用相位台阶补偿被抵消的波带，则能提高主焦点能量利用率。教材把它进一步连接到浮雕型二元光学元件。

圆屏、相位型波带片与二元光学

波带法同样能分析不透明圆屏：小圆屏遮住中心波带后，屏后轴上的其余环带仍可相干叠加，出现泊松亮斑；“阴影里亮”恰是波动模型的证据。波带片若只让奇数环透光，得到主焦点，同时还可能在 f/3、f/5… 出现较弱的次焦点。其焦距随波长近似按 f∝1/λ 变化，具有明显色散。 对有限远轴上点物，在正物距、正像距的近轴约定下，主像点还满足 1/l+1/l′≈1/f；波带片虽有透镜式成像关系，却带有多个衍射级焦点。

振幅型波带片把一半区域挡住；相位型波带片让原本将相互抵消的区域多走约半波光程，使它们改为同相贡献，通常能把更多能量送向设计焦点。浮雕形的二元光学元件把连续相位轮廓离散为若干台阶，可用光刻、刻蚀制造。它的性能必须按设计波长、台阶数与衍射级次评价，不能仅凭“像透镜”判断。

11.3 典型孔径：孔越窄，衍射越宽

在透镜后焦面，矩孔的两个方向可分开计算：I/I₀=sinc²(πa sinθₓ/λ)·sinc²(πb sinθᵧ/λ)。狭缝只保留一个主要方向；其第一暗纹满足 a sinθ=±λ，小角度中央亮纹的角半宽约 λ/a。横向孔径缩小，横向衍射展宽。这是孔径宽度与频谱宽度互为反比的直接例子。

圆孔的衍射图是中央爱里斑和较弱环纹。它的第一暗环角半径约 1.22λ/D，D 为圆孔直径。圆孔强度精确表达含一阶贝塞尔函数：I/I₀=[2J₁(v)/v]²，v=πD sinθ/λ。下面的实验先用单缝展示 sinc² 的宽度，再用爱里斑第一零点连接下一节分辨率。

11.4 傅里叶联系：焦平面是一张空间频谱图

在傍轴、相干照明条件下，透镜后焦面坐标 x、y 对应空间频率 fₓ=x/(λf)、fᵧ=y/(λf)。焦面复振幅是入瞳复振幅的傅里叶变换，附带不影响强度的整体相位与尺度因子。改变孔径的宽度、方向、平移或周期，频谱图都会作出可预测的变化：平移只改相位，不能单凭强度看出孔径在何处；周期结构会出现分离的谱级。

切记探测器直接读的是 |U|²，不是 U 本身。若只拿到远场强度，通常缺少相位信息，不能简单反变换就唯一恢复孔径。第九节全息术正是用参考波把这部分相位信息编码成可记录的干涉条纹。

四条最常用的傅里叶判断

最后一条提供了实际测量方法：细丝和等宽狭缝的非中心衍射条纹相同。教材例中 λ=632 nm、f=500 mm，若测得中央亮纹全宽 10 mm，则把半宽 5 mm 代入 a≈λf/(W/2)，求得细丝直径约 63.2 μm。

11.5 分辨本领：点像也有大小

有限光瞳让一个理想点物成像为衍射斑。两个相距很近的点，其斑点重叠；教材采用瑞利判据：一斑中央极大落在另一斑第一极小时，视为恰好可分辨。对无像差、圆形通光孔径的望远镜，最小角间隔是 θ_R≈1.22λ/D。这是一种约定的判断标准，真实分辨还受对比度、噪声、像差和探测器采样影响。

照相物镜的像面线距极限约 1.22λf/D；显微镜物方按教材的瑞利模型为 ε≈0.61λ/NA，NA=n sin u。增大口径或数值孔径、减小波长，通常能降低衍射限制。不要把显微镜这个式子与另一种照明、另一种判据下的 Abbe 周期公式混为一谈。

为什么像面仍出现孔径的夫琅和费图样？

有限远点物经过无像差系统后，在出瞳形成朝理想像点会聚的球面波。把此波代入到像面的菲涅耳积分时，球面波的二次相位恰好抵消传播积分中的孔径二次相位，剩下的就是孔径的傅里叶积分。因此像面点扩散斑仍可用出瞳的夫琅和费图样求形状，只需把焦距 f 换成出瞳到像面的距离 R。圆形出瞳给出像面第一暗环半径 r₀≈1.22λR/D。

11.6 多缝：单缝包络里长出尖锐主峰

等宽 a、中心距 d 的 N 条缝，在远场的强度可看成单缝衍射因子 × N 缝干涉因子。前者给出缓慢变化的包络，后者把能量组织成越来越窄的主极大。主极大方向满足 d sinθ=mλ；当该方向恰落在单缝暗纹 a sinθ=pλ 上时，这一级会成为缺级。增加缝数主要让主峰变窄，并不会改变主峰方向。

把每条缝贡献的复振幅按相邻相位差 δ=2πd sinθ/λ 相加，是一个有限等比级数；取模方才得到上面的阵列因子。在相邻两个主峰之间有 N−1 个阵列零点与 N−2 个弱次峰。主峰到最近零点的角距离在小角度下约 λ/(Nd cosθ)。若第一缺级为 m=4，则 a/d=1/4；教材还用已知焦距、相邻亮线间距和缺级共同反求 d 与 a。

11.7 光栅：把不同波长送向不同方向

多缝成为有很多周期的光栅后，主极大条件 d sinθ_m=mλ 就是分光的基础。级次 m 越高，角变化通常越敏感，但可存在的级次受 |mλ/d|≤1 限制，还会遇到不同级的谱线重叠。N 条被照亮的等距刻线在理想衍射极限下，m 级光谱的分辨本领约 R=λ/Δλ=mN；这是“能分开多近两条谱线”，与角/线色散不是同一个量。

教材还讨论正弦振幅光栅、闪耀光栅、阶梯光栅与三维光栅。正弦振幅光栅的空间谐波少，常只显著出现 0、±1 级；闪耀光栅改变单槽形状，把能量尽量导向选定级次；阶梯光栅利用高衍射级取得大色散；三维周期结构则要考虑体内相位匹配。光栅方程决定方向，单槽形状决定能量分配。

色散、分辨与级次重叠是三件事

斜入射时还应从相邻槽的光程差写起，得到带有入射角 i 的 d(sin i±sinθ)=mλ；正负号由入射、衍射方向相对光栅法线的位置决定，不能机械记忆。正入射时对 d sinθ=mλ 求导，得到角色散 dθ/dλ=m/(d cosθ)；焦距为 f 的透镜给出小角度近似的线色散 dx/dλ≈f·m/(d cosθ)。它描述不同波长中心分开得多快。分辨本领 mN 还要把单条谱线的有限峰宽算进去；大色散本身不保证能分辨。

相邻级次也可能重叠：m(λ+Δλ)=(m+1)λ 时，两条不同级的光落在同一方向；m 级的近似自由光谱范围为 Δλ_FSR≈λ/m。提高级次能增大理想分辨本领，也会缩小不重叠波段。真实光谱仪常用级次分离滤光片处理重叠。

11.8 光学信息处理：在频谱面修改图像

阿贝成像理论把相干成像看成两步：物体经过第一次衍射，在透镜后焦面分解出空间频谱；这些谱分量再传播、叠加，形成像。波特实验在频谱面遮挡某些衍射级，证实移走哪部分频谱，像里就缺少相应结构。4f 系统用两片透镜提供一个可接触的频谱面，放入掩模 H(fₓ,fᵧ) 后，输出场约是 ℱ⁻¹{H·ℱ{输入场}}，再取模方才得到像强度。

零级谱主要给平均背景；加入 ±1 级可恢复基本周期；更多高阶级次改善边缘与细节。 对二维网格，若谱面只让水平方向的一排谱点通过，像里主要保留竖直线条；让垂直方向的一列谱点通过，像里主要保留水平线条。这就是教材的阿贝–波特实验：频谱方向与物体条纹方向相互垂直。低通使图案平滑，高通强调变化快的结构。这个关系建立在相干复振幅成像上；非相干系统的线性量通常是强度，不能把两个模型的滤波公式直接互换。教材还以匹配滤波的相关识别、非相干相关器和白光假彩色编码展示其应用。

频谱面不只可以“模糊图片”

对于已知参考图样 A，若在相干系统频谱面放置与其频谱共轭的匹配滤波器 H=ℱ{A}*，再送入待识别图样 B，输出场对应 B 与 A 的互相关；若 B=A，就在匹配位置得到强自相关峰。这里比较的是整个图样，而非逐像素只看光强。相干噪声和滤波器制作误差会影响实际识别。

11.9 全息术：把相位藏进干涉条纹

普通感光材料或探测器读出强度，不能直接保存物光波的相位。全息术让物光 O 与已知参考光 R 干涉，记录 |O+R|²=|O|²+|R|²+R*O+RO*。后两项包含相对相位。把记录形成的全息图再用合适的参考波照明，衍射场中能出现与原物光相应的波，以及共轭波和未偏转的背景光。因此全息术常被概括为干涉记录、衍射再现。

一个点光源与平面参考波形成同心环条纹，与波带片关系密切；两束平面波形成近似正弦光栅，其条纹周期由两波在记录面上的横向波矢差决定。离轴记录能让再现波与零级背景在方向上分开。教材还介绍全息光学元件、立体显示与全息干涉计量。全息图的局部仍可含整物体的信息，但裁切会减少收光孔径、视角和分辨率，不意味着“任何碎片都原样完美”。

再现时到底出现哪三束波？

理想线性振幅记录可写 t=t₀+c|O+R|²。以原参考光 R 再照明，透射光 Rt 中含有沿参考光方向的零级、与物光 O 成正比的直接再现波以及与 O* 相关的共轭波。对两束平面波、同一记录/再现参考角 θ_r，三个横向方向分别由 sinθ_r、sinθ_o、2sinθ_r−sinθ_o 决定。后一项若绝对值大于 1，便没有对应的自由空间传播平面波。零级、直接像与共轭像能否分开，取决于记录的离轴角与孔径。

教材的四类实际用途

全息光学元件：两平面波记录的条纹可成为全息光栅；球面波与参考波记录可成为全息透镜。全息显示：重建波前，使双眼随观察位置获得不同视差；反射体全息图可在合适白光条件下显示。全息干涉计量：将变形前后的物光波重叠，实时法或双曝光法用相位差条纹测微小变形。体全息存储：把二维数据页与参考波记录在介质体积内，更换参考角可复用存储；读出时用对应角度照明并由衍射重建数据页。上述用途都依赖稳定记录与足够的空间分辨能力。

自测：能从孔径预测图样吗？

每题作答后会显示解析。计算时先判断近场或远场，再写清孔径尺寸、波长与所用近似。

完成本章应会的十二件事

• 用复透射系数说明振幅孔径和相位孔径都会衍射。
• 说清惠更斯–菲涅耳子波叠加及标量近轴模型的适用范围。
• 用菲涅耳数与半波带解释圆孔轴上明暗、波带片聚焦。
• 计算单缝第一暗纹与圆孔爱里斑第一暗环。
• 把夫琅和费衍射强度与孔径复振幅傅里叶变换联系起来。
• 用瑞利判据估算望远镜、照相物镜与显微镜的衍射限制。
• 分开多缝的单缝包络、阵列主峰与缺级。
• 由光栅方程、色散与 mN 判据分析两条谱线。
• 说明 4f 频谱滤波和全息记录、再现的各个步骤。
• 区分孔径平移、斜照明与互补屏的远场变化。
• 区分光栅色散、分辨本领、自由光谱范围与闪耀。
• 比较相干、非相干和白光信息处理，并解释全息角度复用存储。