状态语言
ψ 与 |ψ|²
第8章 · 量子力学基础
CHAPTER 08 · QUANTUM STATES
量子力学基础
量子力学不追踪经典轨迹，而用波函数编码状态、用算符提出问题，再由边界条件筛选允许的能量和空间分布。
测量规则
Âψ=aψ
能量量子化
Ĥψ=Eψ
PARTICLE IN A BOX LAB
边界条件制造能级
Eₙ=n²h²/(8mL²)
能量随 n² 增大、随 L² 减小。即使 n=1，基态能量也不为零。
能量 Eₙ
0.376 eV
de Broglie 波长
2.00 nm
WAVEFUNCTION & PROBABILITY DENSITY
边界
ψ(0)=ψ(L)=0
节点数
0
能级比例
Eₙ/E₁=1
01 · WAVEFUNCTION
ψ不是轨迹，而是概率振幅
波函数包含体系可知的全部量子信息。它本身可为正、负或复数；Born 解释把 |ψ|²赋予概率密度意义，只有在某个区域积分后才得到无量纲概率。
归一化：∫|ψ|²dτ=1。
可接受波函数应单值、有限、通常连续且平方可积。
全局相位不改变物理状态，但相对相位会导致干涉。
BORN INTERPRETATION
波函数
ψ
复共轭
ψ*
概率密度
|ψ|²
P(a≤x≤b)=∫ₐᵇ|ψ(x)|²dx
概率密度有量纲，区间概率无量纲
概率密度
ρ=ψ*ψ=|ψ|²
一维中 ρdx 是在 x 到 x+dx 内发现粒子的概率。
归一化
∫|ψ|²dτ=1
若平方积分有限，可乘归一化常数把总概率调整为1。
正交性
∫ψₘ*ψₙdτ=δₘₙ
不同本征值对应的厄米算符本征函数相互正交。
02 · OPERATORS & MEASUREMENT
测量值来自算符的本征值
本征方程
Âψₐ=aψₐ
若体系处于 ψₐ，测量 A 可确定得到本征值 a。
期望值
⟨A⟩=∫ψ*Âψdτ
对大量同样制备体系重复测量的统计平均，不是每次测量必得值。
不确定关系
ΔxΔpₓ≥ħ/2
来自不对易算符的结构，不是实验仪器粗糙造成的误差。
Ĥψ=Eψ
定态 Schrödinger 方程是能量本征方程。哈密顿算符包含动能和势能；方程本身与边界条件一起决定允许波函数和离散能级。
03 · PARTICLE IN A BOX
最简单的边界，已经足以产生量子化
一维势箱
Eₙ=n²h²/(8mL²)
ψₙ=√(2/L)sin(nπx/L)
n=1,2,…；两端波函数为零。箱越窄、粒子越轻，能级间隔越大。
三维直角势箱
E=h²(nₓ²/Lₓ²+nᵧ²/Lᵧ²+n𝓏²/L𝓏²)/(8m)
ψ=ψₙₓ(x)ψₙᵧ(y)ψₙ𝓏(z)
三个方向变量可分离；不同量子数组合得到相同能量时产生简并。
边界条件不是附加装饰
同一微分方程在不同边界下会有不同谱。量子化来自“微分方程 + 物理边界条件”的共同筛选，不能只背能级公式而忽略模型势能。
04 · MOLECULAR QUANTUM MODELS
振动、转动与电子运动各有量子尺度
谐振子
Eᵥ=(v+½)hν
ν=(1/2π)√(k/μ)，v=0,1,…；相邻能级等间隔并存在零点能。
刚性转子
Eⱼ=J(J+1)ħ²/(2I)
I=μr²，J=0,1,…，简并度 gⱼ=2J+1；能级间隔随 J 增大。
氢原子
Eₙ=−hcR_H/n²
能量只依赖主量子数 n；轨道形状还由 l、m决定，多电子原子需更复杂模型。
光谱是能级差的指纹
ΔE=hν=hcṽ
只有同时满足能量匹配和选择定则的跃迁才有强度。位置给能级差，强度则包含跃迁偶极矩和粒子数分布信息。
05 · WORKED EXAMPLES
例题：先写模型，再代边界
EXAMPLE 01
势箱基态
电子被限制在 L=1.00 nm 的一维无限深势箱。
E₁=h²/(8mₑL²)=0.376 eV
物理检查
纳米尺度约束产生电子伏特量级能量；箱更窄时能量按1/L²增大。
EXAMPLE 02
节点与能量
比较 n=1 与 n=3 的波函数。
节点数：0 与2；E₃/E₁=3²=9
物理检查
能量升高伴随空间振荡加快和更多节点。
EXAMPLE 03
光谱跃迁
同一势箱电子由 n=2 跃迁至 n=1。
ΔE=(4−1)E₁=1.128 eV；λ≈1240/1.128=1100 nm
物理检查
发射光子能量为正，波长位于近红外量级。
CHAPTER FORMULA GRID
本章十一个公式节点
8-01定态方程
Ĥψ=Eψ
8-02归一化
∫|ψ|²dτ=1
8-03期望值
⟨A⟩=∫ψ*Âψdτ
8-04一维势箱
Eₙ=n²h²/(8mL²)
8-05势箱波函数
ψₙ=√(2/L)sin(nπx/L)
8-06三维势箱
E(nₓ,nᵧ,n𝓏)
8-07谐振子
Eᵥ=(v+½)hν
8-08刚性转子
Eⱼ=J(J+1)ħ²/(2I)
8-09简并度
gⱼ=2J+1
8-10氢原子
Eₙ=−hcR_H/n²
8-11光谱
ΔE=hν=hcṽ
ACTIVE RECALL
第八章学习闭环
17 道题覆盖波函数、算符、本征值、势箱、分子量子模型和光谱跃迁。
作答进度0/17
01Born 统计解释中，|ψ(x)|²表示？
02可接受的束缚态波函数通常必须满足？
03量子力学中可观测量对应的算符应当是？
04一维无限深势箱中，基态能量为什么不为零？
05势箱第 n 个定态在箱内有多少个内节点？
06三维立方势箱中出现能级简并，是因为？
NEXT CHAPTER
第9章：从量子能级走向宏观热力学
Boltzmann 分布与配分函数将把微观能级、简并度和宏观能量、熵连接起来。